вопросы к экзамену по высшей математике для студентов I курса ФЭА
1. Определители. Определители второго и третьего порядков. Свойства определителей, их вычисление.
2. Матрица. Определение. Виды матриц. Действия над матрицами.
3. Обратная матрица 3-го и 2-го порядков. Определение. Вычисление.
4. Линейная система. Метод Гаусса. Количество решений.
5. Решение линейной системы с помощью обратной матрицы. Формулы Крамера.
6. Вектор. Определение. Нулевой вектор, модуль вектора, коллинеарность, компланарность. Сумма и разность векторов.
7. Произведение вектора на число. Орт-вектор. Деление векторов. Условие коллинеарности векторов.
8. Проекция вектора на ось (геометрическая и алгебраическая).
9. Скалярное произведение векторов. Определение. Свойства.
10. Векторное произведение векторов. Определение. Свойства. Площадь треугольника.
11. Смешанное произведение векторов. Определение. Свойства. Объем тетраэдра.
12. Векторный базис. Виды. Разложение вектора, координаты вектора. Линейные операции с векторами, заданными координатами.
13. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, заданных координатами.
14. Радиус-вектор. Координаты точки. Система координат. Нахождение вектора по концам.
15. Уравнение плоскости: каноническое, общее. Частные случаи. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
16. Угол между плоскостями. Условия перпендикулярности и параллельности плоскостей.
17. Уравнения прямой в пространстве: параметрические и каноническое. Прямая как линия пересечения двух плоскостей.
18. Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности прямой и плоскости.
19. Вывод уравнения прямой на плоскости. Вывод уравнения с угловым коэффициентом и начальной ординатой. Каноническое уравнение прямой. Частные случаи расположения прямой.
20. Общее уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
21. Полярные координаты. Выражение полярных координат через декартовы и наоборот.
22. Вывод уравнения эллипса и его свойства.
23. Гипербола и ее свойства.
24. Парабола, свойства. Парабола со смещенной вершиной, ее уравнения.
25. Эллипсоид.
26. Гиперболоид однополостный и двуполостный.
27. Параболоид эллиптический, гиперболический.
28. Конус, цилиндры.
29. Множество. Окрестность точки. Интервалы. Элементарные функции, обзор свойств. Степенная, показательная и логарифмическая функция.
30.Элементарные функции: тригонометрические и обратнотригонометрические. Обзор свойств.
31. Предел функции. Определение. Примеры. Односторонние пределы.
32. Бесконечно малые величины и их свойства. Эквивалентные бесконечно-малые.
33. Основные теоремы о пределах: предел суммы, произведения, частного элементарной функции.
34. Первый замечательный предел:
35. Второй замечательный предел.
36.Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей вида:
37. Непрерывность функции в точке и на интервале. Свойства непрерывных функций.
38. Точки разрыва. Определение. Виды.
39. Производная. Определение. Геометрический и физический смысл производной. Дифференцируемость. Теорема о непрерывности дифференцируемых функций.
40. Производная постоянной функции, суммы, произведения, частного. Производная сложной функции.
41. Производные тригонометрических функций.
42. Производная логарифмических функций. Применение логарифмирования для нахождения производной. Примеры.
43. Производная показательной функции и степени с переменным основанием и показателем
44. Производная обратной функции. Производная обратных тригонометрических функций.
45. Дифференциал функции. Определение. Геометрический смысл. Свойства дифференциалов.
46. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям.
47. Производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков.
48. Функция, заданная неявно. Нахождение производных любого порядка. Функция, заданная параметрически. Определение. Нахождение производной любого порядка.
49. Теорема Ролля. Геометрический смысл.
50. Теорема Лагранжа. Геометрический смысл.
51. Теорема Лопиталя. Вычисление пределов с применением правила Лопиталя.
52. Монотонность. Теорема о возрастании и убывании функции.
53. Необходимое и достаточное условия экстремума. Нахождение экстремума по первой производной.
54. Нахождение экстремума с помощью второй производной.
55. Выпуклость кривой. Точки перегибы.
56. Асимптоты кривой.
57. Общая схема исследования функции.
58. Уравнение касательной и нормали к плоской кривой.
59. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
60. Длина дуги кривой. Дифференциал дуги.
61. Кривизна кривой. R кривизны.