СКАЧАТЬ: kopia_1laba1112.zip [110,9 Kb] (cкачиваний: 34)

Министерство образования Республики Татарстан

Альметьевский Государственный Нефтяной институт

Кафедра автоматизации и информационных технологий

Отчет по лабораторной работе № 1 

По дисциплине: «Планирование и обработка результатов измерений»

Альметьевск 2013

ЭМПИРИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Теоретическая часть

Цель работы

Научиться выполнять группировку данных и оформлять результаты обработки эмпирической выборки графически (в виде полигона, гистограммы, эмпирической функции распределения). Научиться вычислять числовые характеристики выборки.

Теоретические сведения

В этом разделе рассматривается представление необработан­ных данных в табличном виде. Сюда относятся принятие реше­ний о ширине интервалов, некоторые необходимые определения, а также ряд эмпирических логических правил.

Допустим, что получены данные. Такие числовые характеристики, как среднее зна­чение или среднее абсолютное отклонение от некоторого задан­ного значения, могут быть вычислены непосредственно. Однако нередко необходимо иметь более полную информацию без сохра­нения точных деталей первоначальных наблюдений. Удобным способом, обеспечивающим выполнение этих требований, явля­ется группировка данных. В процессе группировки данных пер­воначально наблюдаемые значения теряются, но если группы выбраны правильно, то сохраняется удовлетворительное общее представление о полученных фактических данных.

Дадим теперь несколько определений, связанных с нашей таблицей. Нам нужно иметь данные, распределенные по группам (или интервалам), каждая из которых охватывает некоторый интервал значений (обычно) постоянной ширины, т. е. интервал группировки. Интервал группировки представляет собой группу значений, попадающих в данный интервал. Вначале выбираем ширину интервала группировки и находим границы интервалов.

В каждом из этих интервалов группировки определяем частоту попадания в интервал, или просто частоту. Теперь каждый интервал группировки имеет определенные границы, и целесо­образно задать в нем некоторое представительное значение. Определим вначале пределы интервала группировки. Эго наи­большее и наименьшее возможные значения, которые могут находиться в данном интервале. С другой стороны, границы интервала лежат где-то между наибольшим значением одного интервала и наименьшим значением следующего интервала, со­держащего большие значения. Это относится ко всем границам интервалов, кроме первой и последней, которые можно вычис­лить исходя из условия постоянства расстояния между грани­цами каждого интервала. Наконец, в качестве представительного значения каждого интервала группировки будем использовать срединное значение X. Оно находится посередине; между преде­лами интервала или между границами интервала. В некоторых случаях ширина интервала группировки может быть переменной, например на краях диапазона, где наблюдаемые значения встре­чаются реже.

Существует несколько характеристик положения совокупности эмпирических данных. Наиболее распространенными из них являются среднее, медиана и мода. Среднее представляет собой первый момент распределения, т.е. значение относительно которого может быть сбалансировано все эмпирическое распределение. Медиана 1/х представляет собой такое значение х, что одна половина значений х меньше ее, а другая больше. Мода—это наи­более часто появляющееся значение х. Если данные сгруппиро­ваны, то в качестве моды обычно выбирается срединное значение интервала с наибольшей частотой. Обычно мода не используется, так как ее трудно определить или интерпретировать.Начнем рассмотрение вычислений выборочного среднего ариф­метического со случая необработанных (несгруппироваиных) дан­ных х₁, х₂, ..., х_n Среднее равно

                             i=1,2,…,n

При вычислении выборочного среднего может оказаться целесообразным представление данных в следующем виде:

   i=1,2,…,k,

где n обозначает общий объем выборки, а k – число интервалов.

При вычислении выборочного среднего может оказаться целесообразным представление данных в следующем виде:

где x₀ – некоторое произвольное начало отсчета, а с – ширина интервала группировки. Тогда

Характеристики рассеяния

Одной из наиболее часто используемых характеристик рас­сеяния (или разброса) данных является среднее квадратическое (стандартное) отклонение. Вначале определим квадрат этой величины, называемый

дисперсией.

Для выборки несгруппированных данных дисперсия находится как

Если данные сгруппированы, то

Внимательное изучение этого выражения показывает, что оно (если исключить —1 в знаменателе) представляет собой момент инерции, или второй момент относительно среднего.

Среднее квадратическое отклонение определяется как поло­жительный квадратный корень из дисперсии. Для несгруппированных данных

для сгруппированных данных

В случае несгруппированных данных при использовании фор­мулы для выполнения вычислений ее можно записать в следующем виде:

Соотношение между средними квадратическими отклонениями:

При линейном преобразовании х например вида z=a+bx, среднее значение и среднее квадратическое отклонение соответственно равны

Задание: Ниже приводятся данные (табл. 1.) о пределе текучести для 100 образцов из титанового сплава при 1000 фунт/кв. дюйм.

         построить

• - гистограмму,
• - полигон частот,
• - полигон накопленных частот;

            найти

• - среднее арифметическое значение,
• - медиану,
• - моду,
• - среднее геометрическое,
• - дисперсию,
• - среднее квадратическое отклонение,
• - размах,
• - среднее отклонение.

Таблица 1 

Наиболее наглядной формой графического представления выборки является гистограмма. Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины  , а высоты равны отношению   (плотность частоты).

Построим гистограмму, полигон, накопительная частота с помощью функций histogram(n,m):

Рис. 1. Гистограмма распределения по объемам (в фунт/кв. дюйм).

Полигон частот и полигон накопленных частот.

Числовое представление данных.

Арифметическое среднее - сумма всех значений, отнесенная к общему числу наблюдений. Иначе говоря, среднее  - это такое значение величины , для которого алгебраическая сумма расстояний выборочных значений , , …,  от  равна нулю. Для случая с несгруппированными данными формула нахождения среднего представляет собой вид:

В программе MathCAD среднее находится с помощью функции .

Медиана и мода

Медиана  представляет собой такое значение , что одна половина значений  меньше её, а другая – больше (медиана делить площадь гистограммы пополам). Мода – наиболее часто появляющееся значение 

Медиана:

Выполним проверку в MathCAD:

Найдем моду функцию

Среднее квадратичное отклонение и дисперсия.

Вывод :

В данной лабораторной работе мы научились выполнять группировку данных и оформлять результаты обработки эмпирической выборки графически (в виде полигона, гистограммы, эмпирической функции распределения). Так же мы научились вычислять числовые характеристики выборки.

Список использованной литературы

1. Морозов В. В. Соботковский Б. Е. Шейнман И. Л. «Методы обработки результатов физического эксперимента» СПб 2004 г.
2. Половко А. М. Бутусов П. Н. «Интерполяция. Методы и компьютерные технологии их реализации» СПб 2004 г.