Скачать:  splayn-8var-na-raspech.zip [587,46 Kb] (cкачиваний: 43)

Кафедра АИТ

Лабораторная работа №4

«Интерполяция и приближение сплайнами»

Создание линейной сплайн функции

Для определения будем говорить о приближении функции f(x) на отрезке [0; 1]. Разобьем его на части [х₀; х₁], …, [х_N-1; х_N], х₀ = 0, х_N= 1, и обозначим это разбиение через Δ. Назовем сплайном порядка mфункцию, являющуюся многочленом степени m на каждом из отрезков [х_N-1; х_N], т.е.

(1)

и удовлетворяющую условиям непрерывности производных до порядка m-1 в точках х₁, … , х_N-1:

(2)

Всего имеется в распоряжении Q=N(m+1) неизвестных коэффициентов , и соотношения (2) образуют систему из (N-1)mлинейных алгебраических уравнений. Другие уравнения для коэффициентов получаются из условия близости сплайна к приближаемой функции и из некоторых дополнительных условий.

Рассмотрим простейшую задачу приближения линейными сплайнами (m=1). Тогда общее число Qсвободных параметров равно 2N. Поставим вопрос о построении сплайна , совпадающего с функцией f(x) в точках х₀,…, х_N. Получится система уравнений

(3)

(4)

Эта система распадается на системы уравнений относительно коэффициентов отдельных многочленов

(5)

(6)

Отсюда находим

(7)

(8)

Многочлен является многократно рассматривавшимся интерполяционным многочленом первой степени с узлами интерполяции x_n-1, x_n.

Широкое распространение сплайнов во многом вызвано тем, что они являются в определенном смысле наиболее гладкими функциями среди функций, принимающих заданные значения.

Задание

Дана функция . Необходимо построить для нее линейную сплайн функцию на отрезке [-1; 1].

Программа

program LinSplain;

uses

CRT;

CONST

n=6;

var

x,y:array [1..n] of real;

a0,a1,a,b:real;

i:integer;

function f(x: real):real;

begin

f := sqrt(4+x);

end;

begin

clrscr;

Write('Vvedite a:');ReadLN(a);

Write('Vvedite b:');ReadLN(b);

x[1] := -1;

y[1] := f(x[1]);

For i:=1 to 6 do begin

WriteLN('x[',i,']=',x[i]:0:1,' ','y[',i,']=',y[i]:0:3);

x[i+1] := x[i] + 0.4;

y[i+1] := f(x[i+1])

end;

For i:=1 to 5 do

begin

y[1] := 1.73;

a1 := (y[i+1]-y[i])/(x[i+1]-x[i]);

a0 := y[i]-2*x[i]*a1;

WriteLN('P[',i,'1] = ',a0:0:3,' + ',a1:0:3,'x')

end;

Readkey

end.

Результатом вычисления функции интерполяции линейным сплайном является ломаная линия на отрезке [-1;1].

Вывод

В данной лабораторной работе в результате вычислений функция была приближена линейной сплайн функцией, представляющей собой ломаную линию. Точность построения зависит от числа интервалов разбиения.