Основные булевы операции.

Существуют четыре основные булевы операции: ИЛИ, И, ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ и НЕ.

Операция ИЛИ. Если обе входные переменные А и В вентиля ИЛИ имеют значение 0, то на выходе его появится 0. Во всех остальных слу­чаях выход принимает значение 1. Для обозначения операции исполь­зуются символы "+" или "V".

Входы                                                     Выход =

А     В                                                         =А V В

0       0                                                           0

0       1                                                           1

1       0                                                           1

1       1                                                           1

Операция И. Если обе входные переменные А и В вентиля И прини­мают значение 1, то на выходе будет 1. Во всех остальных случаях вы­ход принимает значение 0.

 Операция обозначается символами “.” или “٨”.

 Входы                                           Выход =

А      В                                             =А . В

0        0                                                   0

0        1                                                   0

1        0                                                   0

1        1                                                   1

Из таблицы истинности для операции И следует, что реализуемая функция ведет себя как функция И для единиц на входе и как функция ИЛИ для нулей на входе. И, наоборот, из таблицы истинности для опера­ции ИЛИ видно, что для единиц на входе это функция ИЛИ, а для нулей на входе это функция И.

 Операция ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ. Если обе входные переменные А и В вентиля ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ имеют одинаковое значение, то выход принимает значение 0. В остальных случаях выход равен 1.

Операция обозначается символами "О' или "V".

 Входы                                  Выходы =

 А      В                                  = А О В

0         0                                       0

0         1                                       1

1         0                                       1

1         1                                       0

Операция НЕ. Данная операция инвестирует любую двоичную циф­ру или группу цифр, т.е.

НЕ  1 =0

НЕ  0=1

Остальные логические функции реализуются с использованием че­тырех основных логических операций.  Для осуществления различных операций с переменными булевой алгебры требуется знать определен­ные правила вычислений, с помощью которых можно упорядочивать и упрощать сложные логические функции сумм и произведений. Эти пра­вила вычислений сводятся к следующим:

А+0 = А                       А*0 = 0

А+1=1                        А*1=А

А+А =А                       А*А=А

А+Â=1                                    А+В=В+А

 А+В*С=(А+В)(А+С)       А+А*В=А

     А*В=В*А

     А*(В+С)=А*В+А*С

   А*(А+В)=А

А*(А+В)=А*В

 А*(А+В)=А*В

 А*А=А

А*В+А*В=А*В

А+А*В=А+В

Кроме этого в булевой алгебре широко применяется теорема Де Моргана, состоящая из двух постулатов:

1 Дополнение суммы равно произведению дополнений переменных, т.е. А+В+С=А*В*С.

2. Дополнение произведения равно сумме дополнений переменных, т.е. А*В*С = А+В+С.

         Для уточнения этих постулатов следует пояснить понятие дополне­ния. Если А является переменной, то ее дополнение будет равно А. В булевой алгебре справедливы также следующие законы:

•   ассоциативный закон:    (А+В)+С=(А+С)+В

         (А*В)*С=(А*С)*В.

•   коммутативный закон:    А+В=В+А,

                                                    А*В=В*А.

•   дистрибутивный закон:   А*(В+С)=А*В=А*С.

При разработке логических схем часто требуется минимизировать необходимое число элементарных схем. Это можно сделать с помощью правил булевой алгебры, а также с помощью карт Карно, диаграмм Хаффмена и состояний.

Двоичное сложение. При сложении двух двоичных цифр существуют четыре возможных исхода:

Первое      Второе

слагаемое + слагаемое = Результат + Перенос

0+  0 = 0

0+ 1 = 1

1+ 0 = 1

1+ 1 = 1  +  1

Например,

0101 0011    (83)

+

0011 1000   (56)

1000  1011    (139)

Двоичное вычитание. Данная операция выполняется с применением двоичного дополнения. Двоичное дополнение (дополнительный код) двоичного числа можно получить, заменив в числе нули единицами, а единицы - нулями и прибавив затем единицу. Например,

00100111     (39)
_________ 0001 1010   -(26)_________________________

00001101     (13)

С помощью дополнительного кода это вычитание можно выполнить следующим образом:

вычитаемое       0001 1010 (26)

обратный код    1110  0101

                                              +               1

дополнение      1110 0110

Теперь производим сложение

0010 0111     (39)

+                           1110 0110     (дополнение числа 26)

1   00001101     (13)

Игнорируемый перенос означает, что результат положительный. От­сутствие цифры переноса означает, что результат имеет отрицатель­ный знак.

Системы, в которых применяются МП часто используются для вы­числения сложных математических функций в широком диапазоне чи­сел. Рассмотрим задачу представления положительных и отрицательных чисел 8-разрядными словами. Их диапазон ограничивается величинами + 127. Первые 128 чисел, от 0 до 127, определяются как положительные числа. Отрицательные числа получаются обратным отсчетом от нуля, как в реверсивном счетчике - если содержимое регистра равно 0000 0000 и происходит уменьшение этого числа на единицу, то следующим пока­занием счетчика будет 1111 1111 (FF в шестнадцатеричной системе). Следовательно, FF в этой системе представляет число -1. Такое пред­ставление носит название дополнения до двух (или дополнительного ко­да числа). Дополнительные коды очень удобны для арифметических действий. Выражающие их числа при сложении, вычитании, умножении и делении также дают числа в дополнительном коде. Обычно они ис­пользуются в МП системах, которые должны оперировать как с положи­тельными, так и с отрицательными числами.

Для расширения диапазона чисел используемых в МЛ системах уве­личивают количество двоичных разрядов в представлении каждого числа. Это достигается использованием двойного слова, что позволяет представлять числа в диапазоне от 0 до 65535, или от -32767 до +32767.

Двойная точность расширяет диапазон целых чисел, но как быть с промежуточными (дробными) числами. Существует два способа пред­ставления таких значений в форме с фиксированной запятой и в форме с плавающей запятой. Первый способ для запоминания чисел использует два байта - один для целой части числи, другой- для дробной. Однако, разрешающая способность для дробных чисел при этом способе пред­ставления незначительна н ограничена величиной 1/256 (примерно 0.004). Для работы с числами, изменяющимися в широком диапазоне, применяют второй способ - с использованием экспоненциального представления, при котором отдельно представляются мантисса и порядок числа. Также для представления каждого числа используются 2 байта: один отводится для мантиссы, а другой - для порядка числа. Диапазон представляемых таким образом чисел составляет очень широкую об­ласть значений 127    -127

                                                                 От 10   до 10

Большинство МП систем оснащаются десятичными устройствами ввода-вывода (клавиатура, дисплей), для которых применяется так назы­ваемая двоично-десятичная система кодирования десятичных чисел. Каждая из десятичных цифр независимо преобразуется в два 4-разрядных двоичных числа, которые затем упаковываются в один байт.

Например,

28 = 0010 1000

При этом двоичные значения от 1010 до 1111 никогда не употребля­ются. Большинство МП снабжено специальными командами для обра­ботки двоично-десятичных чисел.

Многие МП системы должны производить действия не только над цифрами, но и над буквами. Для этого существует широко распростра­ненный код АSСII, по которому каждому символу присваивается опре­деленное двоичное значение.