СКАЧАТЬ:  33.zip [122,51 Kb] (cкачиваний: 276)
 

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему

«Обработка результатов наблюдений и оценка погрешностей»

ВВЕДЕНИЕ. 3

Классификация измерений. 3

Оценка результата измерения. 3

Варианты оценки случайных погрешностей. 4

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ. 7

Измерения с однократными наблюдениями. 7

Прямые однократные измерения с точным оцениванием погрешности. 7

Однократные измерения с приближённым оцениванием погрешности. 10

Обработка прямых многократных измерений. 12

Равноточные измерения. 12

Неравноточные измерения. 17

Обработка результатов косвенных измерений. 19

Критерий ничтожных погрешностей. 22

Совокупные и совместные измерения. 24

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. 27

ПРИЛОЖЕНИЕ. 30

ВЫВОДЫ.. 31

ЛИТЕРАТУРА.. 32

ВВЕДЕНИЕ.

Классификация измерений

Совокупность операций по применению технического средства, хранящего единицу физической величины, заключающихся в сравнении измеряемой величины, с её единицей, с целью полученпия значения этой величины или информации о нём в формате, наиболее удобном для использования называется измерением.

Измерения могут быть классифицированы:

−   по характеристике точности на равноточные и неравноточные;

−   по числу измерений в ряду измерений на однократные и многократные;

−   по отношению к измеряемой величине статические и динамические;

−   по метрологическому назначению на технические и метрологические;

−   по выражению результата измерений на абсолютные и относительные;

−   по общим приёмам получения результатов измерений на прямые, косвенные, совместные и совокупные.

Оценка результата измерения

Задача оценки результата измерения состоит в том, чтобы по полученным экспериментальным путём результатам наблюдений, содержащим случайные погрешности, найти оценку истинного значения измеряемой величины – результат измерения. Будем полагать, что систематические погрешности в результатах наблюдений отсутствуют или исключены.

К оценкам, получаемым по статистическим данным, предъявляются требования состоятельности, несмещённости и эффективности. Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа наблюдений она стремиться к истинному значению оцениваемой величины.

Оценка называется несмещённой, если её математическое ожидание равно истинному значению оцениваемой величины. В том же случае, когда можно найти несколько несмещённых оценок, лучшей из них считается та, которая имеет меньшую дисперсию. Чем меньше дисперсия. Чем меньше дисперсия оценки, тем более эффективной считают эту оценку.

Способы нахождения оценок результата зависят от вида функции распределения и от имеющихся соглашений по этому вопросу, регламентируемых в законодательной метрологии. Общие соображения по выбору оценок заключаются в следующем.

Распределения погрешностей результатов наблюдений, как правило, являются симметричными относительно центра распределения, поэтому истинное значение измеряемой величины может быть определено как координата центра рассеивания хц, т.е. центра симметрии распределения случайной погрешности (при условии, что систематическая погрешность исключена). Отсюда следует принятые в метрологии правило оценивания случайной погрешности в виде интервала, симметричного относительно результата измерения ( хц±∆х). Координата  хц может быть найдена несколькими способами. Наиболее общим является определение центра в симметрии из принципа симметрии вероятности, т.е. нахождение такой точки на оси х, слева и справа от которой вероятности появления различных значений случайных погрешностей равны между собой и составляют Р1=Р2=0,5.Такое значение хц называется медианой.

Координата хц  может быть определена и как центр тяжести распределения, т.е. как математическое ожидание случайной величины.

При ассиметричной кривой плотности распределения вероятностей оценкой центра распределения может служить абсцисса моды распределения, т.е. координата максимума плотности. Однако есть распределения, у которых не существует моды (например, равномерное), и распределения, у которых не существует математического ожидания.

В практике измерений встречаются различные формы кривой закона распределения, однако чаще всего имеют дело с нормальным и равномерным распределением плотности вероятностей.

Учитывая многовариантность подходов к выбору оценок в целях обеспечения единства измерений, правила обработки результатов наблюдений обычно регламентируются нормативно-техническими документами (стандартами, методическими указаниями, инструкциями).

Варианты оценки случайных погрешностей

Для количественной оценки случайных погрешностей и установления границ случайной погрешности результата измерения могут использоваться: предельная погрешность, интервальная оценка, числовые характеристики закона распределения. Выбор конкретной оценки определяется необходимой полнотой сведений о погрешности, назначением измерений и характером использования их результатов. Комплексы оценок показателей точности установлены стандартами.

 Предельная погрешность ∆m  - погрешность, больше которой  в данном измерительном эксперименте не может появиться. Теоретически, такая оценка погрешности правомерна только для распределений, границы которых чётко выражены и существует такое значение ±∆m, которое ограничивает возможные значения случайных погрешностей с обеих сторон от центра распределения ( например, равномерное).

На практике такая оценка есть указание наибольшей погрешности, которая может встретиться при многократных измерениях одной и той же величины.

Недостатком такой оценки является то, что она не содержит информации о характере закона распределения случайных погрешностей. При арифметическом суммировании предельных погрешностей получаемая сумма может значительно превышать действительные погрешности.

 Более универсальным и информативным являются квантильные оценки. Площадь, заключённая под всей кривой плотности распределения погрешностей, отражает вероятность всех возможных значений погрешности и по условиям нормирования равна единице. Эту

площадь можно разделить вертикальными линиями на части. Абсциссы таких линий называются квантилями. Так, на рис. 1 ∆Х1 есть 25%-ная квантиль, так как площадь под кривой  f(∆x) слева составляет 25% всей площади. Абсцисса ∆Х2 соответствует 75%-ной квантили. Между ∆Х1 и ∆Х2  заключено 50% всех возможных значений погрешности, а остальные лежат вне этого интервала.

     Квантильная оценка погрешности представляется интервалом от -∆Х(Р) до +∆Х(Р), на котором с заданной вероятностью Р встречаются Р∙100% всех возможных значений случайной погрешности. Интервал с границами ±∆Х(Р) называется доверительным интервалом случайной погрешности, а соответствующая ему вероятность – доверительной вероятностью. Принято границы доверительного интервала указывать симметричными относительно результата измерения.

 Так как квантили, ограничивающие доверительный интервал погрешности могут быть выбраны различными, то при оценивании случайной погрешности доверительными границами необходимо одновременно указывать значение принятой доверительной вероятности ( например, ±0,3 при Р=0,95).

Доверительные границы случайной погрешности ∆Х(Р), соответствующие доверительной вероятности Р, находят по формуле ∆Х(Р)=tσ, где t – коэффициент, зависящий от Р и от формы закона распределения.

В целях единообразия в оценивании случайных погрешностей интервальными оценками при технических измерениях доверительная вероятность принимается равной 0,95. Лишь для особо точных и ответственных измерений допускается применение более высокой доверительной вероятности.

Недостатком оценивания случайной погрешности доверительным интервалом при произвольно выбираемых доверительных вероятностях является невозможность суммирования нескольких погрешностей, доверительный интервал суммы не равен сумме доверительных интервалов. В то же время необходимость в суммировании случайных погрешностей существует, когда нужно оценить погрешность суммированием её составляющих, подчиняющихся к тому же разным законам распределения.

В теории вероятностей показано, что суммирование статистически независимых случайных величин осуществляется путём суммирования их дисперсий

=                или                              (1)

Таким образом, для того чтобы отдельные составляющие случайной погрешности можно было суммировать расчётным путём, они должны быть определены своим СКО, а не предельными или доверительными границами.

Формула (1) правомерна только для некорелированных случайных величин. В том случае, когда суммируемые составляющие погрешности коррелированы, расчётные соотношения усложняются, так как требуется учёт корреляционных связей. Методы выявления корреляционных связей и их учёт являются предметом изучения в теории вероятностей.

Рассотренные свойства распределений следует понимать как «идеальные», полученные на основе бесконечно большого числа опытов. В реальных условиях результат измерения получают либо путём обработки ограниченной группы наблюдений, либо на основе однократного измерения. Правила обработки данных для получения оценок результата и погрешности статистических измерений определены стандартами Государственной системы обеспечения единства измерений.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Измерения с однократными наблюдениями.

Прямые однократные измерения с точным оцениванием погрешности

Большинство измерений являются однократными. В обычных условиях их точность вполне приемлема. Результат однократного измерения Qi, записывается сле­дующим образом

где X_i значение i-ro показания; θ_i- по­правка.

При однократных измерениях для получения результата измерения используется одно значение отсчёта показаний прибора. Будучи по сути дела случайным, однократный отсчёт Х включает в себя инструментальную, методическую и личную составляющие погрешности измерения, в каждой из которых может быть выделены систематическая и случайная составляющая.

Сравнительно легко, путём проверки или по паспортным данным может быть получена оценка систематической погрешности прибора, а анализом метода измерения – оценка систематической погрешности методического происхождения. При наличии в документации на прибор сведений о дополнительных систематических погрешностях, обусловленных влияющими величинами, эти погрешности также оцениваются и учитываются. После исключения из отсчета всех известных систематических погрешностей можно полагать, что погрешность исправленного результата х_испр состоит из неисключённых остатков систематических погрешностей и случайных составляющих погрешностей.

Необходимым условием проведения однократного измерения служит наличие априорной информации. К ней относится, например, информация о виде закона распределения вероятности показания и мере его рассеивания, полученная из опыта предшествующих измерений. Такой информацией может служить класс точности средства измерения. Без априорной информации выпол­нение однократного измерения бессмыслено.

За результат измерения в этом случае принимают результат однократного наблюдения х (с введением по­правки, если она имеется), используя предварительно полученные (например, при разработке методики вы­полнения измерений) данные об источниках, состав­ляющих погрешность.

Доверительные границы неисключенного остатка систематической погрешности результата измерения 0(Р) вычисляют по формуле:

                     ,                                     (2)

где к(Р) - коэффициент, определяемый принятой Р и числом т составляющих неисключенного остатка систе­матической погрешности: θ_i- найденные нестатистиче­скими методами границы i-й составляющей неисключен­ного остатка систематической погрешности (границы интервала, внутри которого находится эта составляю­щая, определяемые при отсутствии сведений о вероятно­сти ее нахождения в этом интервале). При Р-0.90 и 0.95 к(Р) равен 0.95 и 1.1, соответственно при любом числе слагаемых т. При Р-0.99 значения к(Р) следующие (табл. 1).

Таблица 1

Если составляющие неисключепного остатка сис­тематической погрешности распределены равномерно и заданы доверительными границами θi(Pi), то довери­тельную границу результата измерения вычисляют по формуле:

                                                             (2)

где к и к_i - те же, что и в предыдущем случае, коэффици­енты, соответствующие доверительной вероятности Р и Р_i соответственно; т - число составляющих неисключенного остатка систематической погрешности.

Среднее квадратическое отклонение результата измерения с однократным наблюдением вычисляют од­ним из следующих способов:

1. Если в технической документации на средство измерения или в методике выполнения измерения, указа­ны нормально распределенные составляющие случайной погрешности  результата  наблюдения (инструментальная, методическая, из-за влияющих фак­торов, оператора и т.д.), то среднее квадратическое от­клонение определяют по формуле:

                                 (3)

где п - число составляющих случайной погрешности S_i-значения среднего квадратического отклонения этих со­ставляющих.

Доверительную границу случайной погрешности результата измерения ε(Р) в этом случае вычисляют по формуле:

               ε(Р)= Z _p/2·S(x)                                             (4)

где zp/2 - значение нормированной функции Лапласа в точкеР/2 при  доверительной вероятности Р (табл. 2):

Таблица 2

2.  Если в тех же документах случайные состав­ляющие погрешности результата наблюдения представ­лены доверительными границами ε(Р) при одной и той же доверительной вероятности Р, то доверительную гра­ницу случайной погрешности результата  измерения  с однократным наблюдением при доверительной вероят­ности Р вычисляют по формуле:

                                                 (5)                         

3.  Если случайные составляющие погрешности ре­зультата наблюдения определяют предварительно в ре­альных рабочих условиях экспериментальными метода­ми при числе наблюдений «_;<30, то:

                                            (6)

где t-коэффициент Стыодента, соответствующий наи­меньшему числу наблюдений п из всех n_j; S_i(x)- оценки средних квадратических отклонений случайных состав­ляющих погрешности результата наблюдения, опреде­ляемых по формуле

                                                 (7)

Если в эксперименте невозможно или нецелесооб­разно определять среднее квадратическое отклонение составляющих случайной погрешности и определено сразу суммарное среднее квадратическое отклонение, то в формуле (6) n=1.

4.  Если случайные составляющие погрешности ре­зультата   наблюдений   представлены   доверительными границами ε(P_i), соответствующими разным вероятно­стям Pi, то сначала определяют среднее квадратическое отклонение результата измерения с однократным на­блюдением по формуле

                                   (8)

где z _pi/2- значения функции Лапласа, Затем вычисляют ε(Р) по формуле (4).

Для суммирования систематической и случайной составляющих погрешностей рекомендуется следующий способ.

Если<0.8, то неисключенным остатком систематической погрешности θ(Р) пренебрегают и окончательно принимают ε(Р) за погрешность резуль­тата измерения ΔP при доверительной вероятности Р.

Если >8,то пренебрегают случайной погрешностью и принимают ΔP=θ(P)

Если 0.8≤≤8, то доверительную границу погрешности результата измерений вычисляют по фор­муле

ΔP=K_p                                                                         (9)

где

K                                (10)

Однократные измерения с приближённым оцениванием погрешности

Для таких измерений в качестве результата измерения принимают значение отсчета х, а оценивание погрешностей проводится на основе нормативных данных о свойствах используемых средств измерений( пределов допускаемой основной погрешности, дополнительных погрешностей и др.). Поскольку эти данные относятся к множеству средств данного типа, то у конкретного экземпляра прибора, используемого в измерении, действительные свойства могут значительно отличаться от нормированных. Тем не менее, не имея другой достоверной информации о реальных метрологических характеристиках, мы вынуждены проводить оценку погрешности измерения на основе предельных норм. Такие оценки, хотя и грубо, но всё же дают возможность оценить погрешность сверху; но для корректировки результата измерения, для введения поправок они недостаточно надёжны.

Общую схему оценивания погрешностей можно представить следующим образом. Выбрав, исходя из условий измерительной задачи, необходимое средство измерения, уточняют условия измерения и оценивают возможные дополнительные погрешности прибора, возникающие от воздействия влияющих величин.

В результате для оценивания погрешности измерения имеем сведения о погрешностях средства измерения:

предел допускаемой основной погрешности прибора Δ_пр ;

дополнительные погрешности  ψ_1,ψ_2,ψ₃ ….ψ_m.

Таким образом, задача сводится к суммированию составляющих погрешности Δ_пр, ψ_1,ψ_2,ψ₃ ….ψ_m.

Верхняя оценка погрешности результата измерения Δ_∑ может быть найдена суммированием составляющих по абсолютным значениям:

        Δ_∑=                                                     (11)

Более реальная оценка погрешности может быть получена статистическим сложением составляющих погрешности. Поскольку основная и дополнительная погрешности средства измерения заданы границами, то, считая их случайными величинами с равномерным распределением, границы их суммы вычислим по формуле

                                                                     (12)

Обработка прямых многократных измерений

Равноточные измерения

Рассмотрим прежде всего статистические измере­ния, при которых многократные измерения проводятся для уменьшения влияния случайных погрешностей. Ре­зультат каждого измерения при этом дает оценку изме­ряемой величины.

Результат наблюдения отличается от истинного значения измеряемой величины из-за случайной Δ и сис­тематической Δ_с, составляющих погрешности

х`=Х+ Δ+ Δ_с                                                                                                (13)            

           Повторяя наблюдение, можно получить информа­цию о случайной погрешности. О систематической погрешности из этих наблюдений информацию извлечь нельзя. Для оценки систематической погрешности необ­ходимо знать свойства используемых средств измерений, метод измерений и условия измерений.

Основная задача - найти оценку x=f(x)При нормальном распределении наблюдений, как уже отмеча­лось, оптимальной оценкой распределения Х является среднее арифметическое результатов измерений:

                                                         (14)

Сумма квадратов отклонений от среднего ариф­метического минимальна, поэтому среднее арифметическое значение является эффективной оценкой измеряе­мой величины.

В общем, алгоритм обработки результатов изме­рений может быть представлен в следующем виде.

1,  Исключают из результатов наблюдений извест­ные систематические погрешности. Если известно, что все результаты наблюдений отягощены одинаковой по­стоянной систематической погрешностью, ее исключают из результата измерений.

2.   Если есть  подозрение о наличии грубых по­грешностей, то определяют среднее арифметическое и среднее квадратичное значения случайной величины s.

Определяют значения t, и t₂ no формулам

Значения t, и t₂ сравнивают с табличным t_n,q

Если они  больше t_n,q , то результаты x_min и х_тах, можно считать анормальными и исключить их из даль­нейшей обработки.

3.  Вычисляют среднее арифметическое   X исправ­ленных результатов наблюдений.

4.  Вычисляют оценку среднего квадратичного от­клонения результата измерений по формуле

5.  Рассчитывают оценку среднеквадратического отклонения среднего арифметического значения по формуле

6. Определяют принадлежность результатов изме­рений нормальному распределению. При числе резуль­татов измерений п>50 для проверки этой принадлежно­сти используют критерии или

Если n<50, то используют составной критерий или критерий Стьюдента.

6.1 Проверка гипотезы с помощью критерия.

6.1.1  Определяют  наименьшее x_min и наибольшее х_тах значения результатов измерений.

6.1.2 Определяют размах варьирования R 

R= х_тах - x_min                                                                                          (15)

Количество интервалов, на которое следует разбивать совокупность результатов измерений, опреде­ляется из выражения

                      r=int                                  (16)

6.1.4 Определяется цена деления интервала с

        c=R/r                                                           (17)

Цена деления с должна быть больше цены деления прибора, с помощью которого производились измерения.

6.1.5  Данные   измерений   группируют   по интер­валам и подсчитывают частоты     m _i.Если в некоторые интервалы попадает меньше пяти  наблюдений, то такие интервалы объединяют с соседними.

6.1.6  Для каждого интервала определяется вспо­могательная величина t_i, по формуле

6.1.7Определяется   плотность   нормированного распределения по формуле

или по таблицам нормированного нормального распре­деления.

6.1.8  Определяют теоретическую частоту m_mi  в се­редине каждого интервала по формуле             m_mi=n*c*/S(x)                                             (18)

6.1.9 Для каждого интервала определяют значение  по формуле

=                                                       (19)

6.1.10 Определяется значение критерия  сумми­рованием значений

=                                                                   (20)

При обработке результатов измерений без при­менения ЭВМ, расчеты удобно вести в соответствии со столбцами табл. 3

Таблица З

6.1.11  Определяется число степеней свободы к=r-3. Если интервалы объединялись,   то число степеней сво­боды уменьшается.   Под r  в   таком случае понимается количество интервалов с учетом объединения.

6.1.12  Задаются уровнем значимости α=0.05; 0.10; 0.20  и т.д.,  определяют табличные  значения  и . Если выполняется условие

<<                                         (21)

то распределение результатов измерений считают нор­мальным.

6.2  Проверка  гипотезы  с  помощью  составного критерия.

6.2.1  Определяется отношение d:

d=                                               (22)

6.2.2   Выбирают уровень   значимости   критерия (обычно 0.02<q₁<0.1 или в % 2<q₁<10).

6.2.3  Определяют   теоретические значения критерия d_q1/2, d_1-q1/2 по табл. 4

Таблица 4

6.2.4 Гипотеза о нормальности по критерию d принимается, если  d_1-q1/2≤d₁≤ d_q1/2. В противном случае отвергается.

6.3.1  Критерий   2.   Критерий   2 введен дополни­тельно для проверки "концов" распределений. Считает­ся, что результаты наблюдений соответствуют нормаль­ному распределению,  если  не более m разностей превзойдет значение t_p/2S_x,   где t_p/2 квантиль распределе­ния    нормированной функции Лапласа,    отвечающий вероятности P/2. Вероятность Р определяют по п и q как корень уравнения

                                     (23)

Для нахождения р по заданным п и q составлена табл.5. При 10<n<20 следует принимать т=1, а при 50>n>20 следует принимать т=2.

Таблица 5 

6.3.2 Гипотеза  о _нормальности принимается,  ес­ли число разностей больших t_p/2S_x,   не превышает т.

6.4 Гипотеза о нормальности принимается, если для проверяемой группы измерений выполняются оба критерия.

Уровень значимости составного критерия q=q₁+q₂,где уровень значимости для критерия 1 (d-критерия); q₁ - то же для критерия 2.

7. Находят доверительную погрешность результа­та измерений и доверительный интервал для среднего квадратичного отклонений.

7.1  Нахождение  доверительных   интервалов   при известной точности измерений.  Если заранее известна средняя квадратичная погрешность σ*,то доверитель­ный интервал имеет вид

                                                       (24)

Значение t=t_p определяется по заданной довери­тельной вероятности Р из условия 2Ф(t)=Р.

7.2  Нахождение    доверительного интервала при неизвестной точности измерений. В этом случае исполь­зуют распределение  Стьюдента.  Доверительный интер­вал принимает вид

где к=п-1,  а множитель t_P(k) зависит от доверительной вероятности Р и числа измерений п

7.3 Нахождение доверительных интервалов для средней квадратичной погрешности.

Для нахождения доверительных интервалов для средней квадратичной погрешности используют распре­деление  (табл.6)

7.3.1  Определяют Р_в и Р_н по формулам

Р_в=(1+Р)/2,        Р_н=(1-P)/2   

7.3.2 Определяют число степеней свободы по фор­муле к=n-1

7.3.3  Для полученных значений Р_в и Р_н  по табл. 6 находят соответственно значение  и (см. Приложение 1)

7.3.4  Определяют доверительный  интервал    для среднеквадратичного отклонения

8. Определяют границы θ неисключенной систе­матической погрешности. Если известно, что погреш­ность результата измерений определяется рядом состав­ляющих неисключенных систематических погрешностей, каждая из которых имеет свои доверительные границы, то при неизвестных законах распределения их границы суммарной погрешности находят по формуле

где m- число неиеключенных систематических состав­ляющих погрешностей результата измерения; к - коэф­фициент, принимаемый равным 1.1 при доверительной вероятности P=q=0.95 и зависящий от числа составляю­щих неисключенных систематических погрешностей.

9. Определяют соотношение .

Если<0.8 то   неисключенными погрешностями пренебрегают и в качестве границы погрешно­сти результата измерения  принимают Δ=±t_p(k)S_x*/

Если , то пренебрегают случайной погрешностью и считают, чтоΔ=θ

Если 0.8<<8 то при определении погрешности D необходимо учитывать и случайную и системати­ческую составляющую.

1. Определяют границу погрешности результата измерений по формуле

, где

         ,а         ,        

11. Представляют результат измерения и погреш­ности для случая симметричных доверительных границ в форме X±Δ.

Неравноточные измерения.

Неравноточные результаты измерений возникают, если заданная величина измерялась средствами измере­ний: различной точности; одинаковой точности, но при разном числе измерений; одинаковой точности при оди­наковом числе измерений, но в различных условиях.

Задача обработки неравноточных измерений со­стоит в определении достоверного значения измеряемой величины и оценке воспроизводимости измерений.

Пусть некоторая величина, истинное значение ко­торой X измерено многократно и неравноточно, и получены результаты х₁ х₂...,х_n со средними квадра­тичными отклонениями s₁ s₂,...,s_n, то наиболее вероятное значение   Х_Р может быть найдено по формуле

Для удобства вычислений по этой формуле, выби­рают некоторый коэффициент с таким расчетом, что­бы отношение было по возможности близко к единице. Величину называют "весом" соответст­вующих результатов и обозначают через р,с учетом этого выражения формулу для определе­ния   Х_Р можно записать в виде

Величина Х_Р носит название весовое среднее или общей арифметической средней измерений.

Среднее квадратичное отклонение результатов измерений вычисляется по формуле

а для оценки среднего квадратичного отклонения Sx_p весового среднего   Хр используется формула

Если значения S_i отсутствуют, а известно среднее значение измеряемой величины в i-й серии Х_i  и количе­ство наблюдений n_ij„ то весовое среднее можно вычис­лять по формуле

Обработка результатов косвенных измерений

При косвенных измерениях значение искомой ве­личины получают на основании известной зависимости, связывающей ее с другими величинами, подвергаемыми прямым измерениям.

Рассмотрим простейший случай, когда косвенно измеряемая величина является суммой или разностью величин, определяемых прямыми измерениями, т.е.

Z=X+Y

Так как  в результате прямых измерении величин X и Y (после исключения систематических погрешностей) включают в себя некоторые случайные погрешности, то формулу косвенного измерения суммы можно перепи­сать в виде:

Z+ΔZ=X+ΔX+Y+ΔY                                                (25)

где X, У-средние арифметические (или средние взвешенные), полученные при обработке результатов прямых измерений величин X и   У;Δ X,ΔY – случайные погрешности средних значений величин X и Y; Z и Δ Z -оценка истинного значения косвенно измеряемой вели­чины и его случайная погрешность.

Таким образом, из уравнения (25) следует, что Z будет равна сумме оценок X иY, а случайные по­грешности Δ Х и Δ Y в сумме дадут случайную погреш­ность Δ Z:

Z=X+Y,         ΔZ= ΔX+ ΔY

Математическое ожидание оценки Z равно, очевидно, значению искомой величины:

MZ=M(X+Y)=MX+MY=MZ=Z

и ее дисперсия соответственно равна:

Δ(Z)= Δ(Δ_z)= Δ(Δ_x+ Δ_y)=M[(Δ_x+ Δ_y)²]=M(Δ_x²+ Δ_y²+2 Δ_x Δ_y)=M(Δ_x²)+M(Δ_y²)+2M(Δ_x Δ_y) = ΔX+ ΔY+2M(Δ _xΔ_y)                                                       (26)

Из (26) следует, что дисперсия суммы двух сла­гаемых величин кроме суммы дисперсий этих величин включает еще удвоенное математическое ожидание про­изведения погрешностей, которое называют корреляци­онным моментом. Корреляционный момент определяет степень тесноты ''линейной" зависимости между по­грешностями. Через корреляционный момент выражает­ся безразмерная величина, получившая название коэф­фициент корреляции r_xy

                                                     (27)

С учетом формулы (27) уравнение (26) примет вид

Если погрешности измерения величин X и У не коррелированны, то

Очень часто теоретические дисперсии распределе­ния прямых результатов измерений случайных величин X и У неизвестны. В этом случае оценка дисперсии ре­зультата косвенных измерений определяется через оцен­ки дисперсий

Оценки коэффициента корреляции вычисляют на основании результатов наблюдений исходных величин:

Чем ближе значение коэффициента корреляции к единице, тем теснее связь между величинами X и Y.

Если r_xy>0, то имеет место положительная корреляция, т.е величины X и Y изменяются согласованно в одном направлении - увеличение одной величины влечет за собой увеличение другой.

Если r_xу<0, то имеет место отрицательная корре­ляция - увеличение одной величины сопровождается уменьшением другой.

Если r_XY= 0, то величины 1и У некоррелированы.

Если требуется оценить истинное значение вели­чины Z, которая связана со многими величинами Xj (j=l,2,...,m), измеряемыми прямым способом, некоторым уравнением

 (в общем случае - нелинейным), то для этого поступают сле­дующим образом.

Рассматривая Z как функцию m переменных Х_j запишем ее полный дифференциал

                    (28)

Каждая из величин Xj измерена с некоторой по­грешностью Δх_j, Полагая, что погрешности Δх_: малы, мы можем заменить dX на Δх_j:

В выражении (28) каждое слагаемое  представляет собой частную погрешность результата косвенного измерения, вызванную погрешно­стью Δх_j, определения величины Xj. Частные производ­ные носят названия коэффициентов влияния соответст­вующих погрешностей.

Формула (28) является приближенной, так как учитывает только линейную часть приращения функции, однако в большинстве практических случаев она обеспе­чивает удовлетворительную точность оценки погрешно­стей результатов косвенных измерений.

Систематические погрешности Δ_mX_p, если они оп­ределены или известны, используются для определения систематической погрешности Δ _mZ с учетом их знаков подстановкой в (28).

Эта же формула используется и для определения предельной погрешности косвенно измеряемой величи­ны по предельным погрешностям аргументов.

Рассмотрим оценки случайных погрешностей ре­зультатов косвенных измерений. Предположим, что ве­личины Xj измерены со случайными погрешностями Δj, имеющими нулевые математические ожидания  и дисперсии.Найдем выражения для мате­матического ожидания и дисперсии  по­грешности Δ Z, принимая но внимание (28).

    (29)

где r_ij- коэффициенты корреляции погрешностей всех испытаний; и i, кроме i=j.

Если погрешности ΔXj некоррелированы, что чаще всего имеет место при независимых измерениях, то

В качестве оценки косвенно измеряемой величины принимается величина, рассчитанная по следующей формуле:

Z=F(X₁;X₂;….X_m)

Дисперсия этой оценки определяется по формуле (29).

Коэффициенты влияния, приведенные в форму­лах, в случае нелинейной функции F зависят от значений величин Xj. Коэффициенты влияния определяются под­становкой в выражение частных производных оценок соответствующих параметров, что является дополни­тельным источником погрешности. При эксперимен­тальном определении коэффициентов влияния также возникает погрешность их определения.

Критерий ничтожных погрешностей.

В высокоточных измерениях погрешности обычно округляют до двух значащих цифр. Например, если в результате многократного измерения получены оценки измеряемой величины X=212.3764мм,то невероятно, чтобы погрешность могла быть опреде­лена с пятью значащими цифрами. Очевидно, что запись результата, полученного с калькулятора, не повысит точности. Для экспериментатора, как правило, не будет иметь значения, если будут отброшены три последних разряда числа, а погрешность взята равной 0.018 мм. В этом случае запись результата Х=212.3764±0.018 также некорректна, так как оценка размера имеет, по крайней мере, один избыточный разряд, который подлежит ок­руглению. Правильная запись будет Х=212,376±0,018.

Значит, наибольшее различие в двух значащих цифрах, которое может быть при округлении, составляет 5%. Например, число 104.5 будет округлено до 100, а число 105.5-до 110. При определении суммарной погрешности слу­чайных погрешностей результат выражается формулой

Если в этом равенстве, например, к-я погрешность такая, что

                                          (30)

то этой погрешностью можно пренебречь, так как полу­ченное различие при округлении теряется (число 1.04999 принимается равным 1)

Возведем обе части неравенства (30) в квадрат

получим

получим

;    

Эта формула в метрологии называется критерием ничтожных погрешностей, а сами погрешности, отве­чающие условию (7.56), называются ничтожными или ничтожно малыми.

Формула (7.56) справедлива и для нескольких по­грешностей, если

Использование критерия ничтожных погрешно­стей при анализе частных погрешностей косвенных из­мерений позволяет выделить те величины, которыми существенно влияют на погрешность результата. Повы­шение точности измерения этих величин позволит уменьшить суммарную погрешность.

Совокупные и совместные измерения

При совокупных и совместных измерениях искомые значения физических величин Х₁, Х₂,…Х_m и полученные в i- м опыте в результате прямых или косвенных измерений значения физических величин X_i ,Y_j связаны между собой уравнениями вида

                    F_i(X₁,X₂,…X_i,…X_m, Y₁,Y₂,….Y_m)=0                           (31)

i=1, 2,…. n.

             После подстановки в каждое уравнение определённых экспериментальных значений Х₁, Х₂, Х₃….Х_m получаем уравнение

                                F_i(Y₁,Y₂,….Y_m)=0.                                                      (32)

В уравнении (32) знак равенства имеет условный характер, так как полученные в результате эксперимента коэффициенты содержат погрешности. Поэтому уравнение вида (32) называют условным.

 Если уравнения  (32) составлены из одноимённых величин, то измерения называют совокупными, если физические величины, входящие в уравнения, имеют разные размерности, измерения называют совместными.

Для того чтобы рассчитать значения искомых величин, достаточно иметь m уравнений, т.е. столько, сколько имеется неизвестных. В этом случае результаты измерений и доверительные границы их погрешностей можно найти методами обработки результатов  косвенных измерений. Практически для уменьшения погрешности результата делается значительно больше измерений, чем необходимо для определения m неизвестных.

Из-за ограниченной точности определения коэффициентов, условные уравнения (32) одновременно не обращаются в тождества ни при каких значениях искомых величин. Так как истинные значения искомых величин определить нельзя, то задача сводится к нахождению их оценок Y_i, представляющих собой наилучшие приближения  к истинным значениям.

Введем  в каждое из уравнений (32) такие дополнительные слагаемые Δ_i, которые превращали бы их в тождества.

Значения ∆i называют невязками, или остаточными погрешностями уравнений. Тогда уравнения (32) можно записать следующим образом :

Fi(Y1,Y2,....Ym)+∆i=0                                                    (33)

Одним из наиболее общих способов отыскания оценок истинных значений измеряемых величин является метод наименьших квадратов.

Согласно этому методу наилучшие оценки величин Yi , будут получены тогда, когда сумма квадратов невязок условных уравнений будет минимальна: