СКАЧАТЬ:  1i.zip [213,38 Kb] (cкачиваний: 259)

Содержание:

Введение………………………………………………………………………..2

1.Общие свойства линейных цепей при переходных процессах………..4

1.1.Принужденные и свободные составляющие токов и напряжений…….4

1.2. Законы коммутации………………………………………………………6

1.3. Ток через индуктивность и напряжение на емкости…………………..6

1.4. Начальные значения величин……………………………………………7

1.5. Составление характеристического уравнения системы……………….8

2. Методы анализа и расчета переходных процессов……………………10

2.1.Общая характеристика методов анализа переходных процессов в линейных электрических цепях……………………………………………..10

2.2. Классический метод расчета переходных процессов…………………11

2.3. Операторный метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях…………………………………………………………13

2.3.1. Изображение числа и функций……………………………………..13

2.3.2. Преобразование Карсона — Хевисайда…………………………….14

2.3.3. Закон Ома в операторной форме……………………………………15

2.3.4. Законы Кирхгофа в операторной форме……………………………16

2.3.5. Последовательность расчета в операторном методе………………16

2.4. Сравнение различных методов расчета переходных процессов……..19

3.Расчетная часть…………………..…………………………………………20

4.Заключение…………………………………………………………………..25

Список литературы ….……………………………………………………….26

Введение.

Производя расчеты и изу­чая свойства электрических цепей постоянного, синусоидального и периодического несинусоидального токов, мы не интересовались как происходит уста­новление режима в цепи при включении и отключении источников э.д.с., по каким законам происходит переход от одного режима к другому при изменении параметров цепи, при отключении и под­ключении ветвей, при коротких замыканиях и подобных им процессах.

В данной курсовой работе будут рассматриваться переходные процессы. Переходные процессы -  процессы перехода от одного режима работы электрической цепи (обычно периодического) к дру­гому (обычно также периодическому), чем-либо отличающемуся от предыдущего, например: величиной фазы, амплитуды, формой или частотой действующей в схеме э.д.с., значениями параметров схе­мы, конфигурацией цепи и др..

Режим синусои­дального тока, режим постоянного тока, а также такой режим, как режим отсутствия тока в ветвях цепи обычно являются периодическими режимами.

Переходные процессы  -  быстропротекающие процессы; длительность их составляет часто десятые, сотые, а иногда даже миллионные доли секунды; сравнительно редко про­исходят переходные процессы, длительность которых составляет секунды и десятки секунд. Тем не менее, изучение переходных про­цессов весьма важно, так как оно позволяет выявить возможные превышения напряжения на отдельных участках цепи, которые могут оказаться опасными для изоляции установки, позволяет выяснить возможные увеличения амплитуд токов, которые могут в десятки раз превышать амплитуду тока установившегося перио­дического процесса.

Переходные процессы вызываются коммутацией в цепи. Комму­тацией называют процесс замыкания или размыкания рубильни­ков или выключателей.

Процесс замыкания или размыкания рубильни­ков или выключателей, на рисунках поясняют стрелкой. Так, операция замыкания рубильника на схе­мах показывается, как правило, в соответствии с рис. 1.а, а опе­рация размыкания рубильника - в соответствии с рис. 1.б.

                         а)                                 б)

       рис.1                                                       

 Изучение переходных процессов позволяет решать и такие во­просы, как вопрос о том, как деформируются по форме и амплитуде сигналы при прохождении их через усилители, фильтры и другие радиотехнические устройства.

Задача о переходном процессе в любой линейной электри­ческой цепи с сосредоточенными параметрами сводится к решению линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффи­циентами.

Из курса математики известно, что решение дифференциального уравнения есть не что иное, как отыскание функции, удовлетворяю­щей дифференциальному уравнению. Подстановка этой функции и ее производных превращает дифференциальное уравнение в тож­дество.

Решение линейных дифференциальных уравнений будет прово­диться  тремя методами: классическим, оператор­ным и методом, использующим интеграл Дюамеля.

Перед тем как изучать эти методы, необходимо рассмотреть общие свойства линейных цепей при переходных процессах, а также общие законы, которым подчиняются переходные процессы в линейных электрических цепях.

1.Общие свойства линейных цепей при переходных процессах.

1.1.Принужденные и свободные составляющие токов и напря­жений.

Из курса математики известно, что общий интеграл линейного дифференциального уравнения равен сумме частного решения неоднородного уравнения плюс полное решение однород­ного уравнения.

Рассмотрим пример

Частное решение уравнения (1) равно  (так как катушка только пропускает ток, но не накапливает).

Однородное уравнение получается из исходного, если в нем взять правую часть равной нулю. В нашем случае

(2)

Решением однородного уравнения является показательная функ­ция вида Ае^pt.

Для всех переходных процессов условились, что момент t=0 соответствует моменту коммутации. A и р есть некоторые постоянные числа, не зависящие от време­ни. Их значения для рассматриваемого примера:

                              и    

Следовательно, решение уравнения (1) запишется так:

 (3)

В нем слагаемое  есть частное решение неоднородного урав­нения (1), а слагаемое общее решение однородно­го уравнения (2).

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения будем называть принужденной составляющей тока (или, соответ­ственно, напряжения), а полное решение однородного уравнения — свободной составляющей.

Для того чтобы различать, о  каком  токе  (полном, принужденном или свободном) идет речь, условились принужден­ную составляющую снабжать индексом пр, свободную — индек­сом св; полная величина без индекса. Так,

Кроме индексов пр и св, токи и напряжения могут иметь и допол­нительные индексы, соответствующие номеру ветвей на схеме.

Принужденная составляющая тока или напряжения физиче­ски представляет собой составляющую, изменяющуюся с той же частотой, что и действующая в схеме принуждающая э.д.с.

Во всех линейных электрических цепях свободные составляющие токов и напряжений затухают во времени по показательному закону е^рt.

Что касается принужденных и свободных составляющих токов и напряжений во время переходного процесса, то эти составляющие играют вспомогательную роль; они являются теми расчетными компонентами, сумма которых дает действительные величины.

Из трех токов (полного, принужденного и свободного) и трех напряжений (полного, принужденного и свободного) основное значение имеют полный ток и полное напряжение.

Полный ток является тем током, который в действительности протекает по той или иной ветви цепи при переходном процессе. Его можно измерить и записать на осциллограмме. Аналогично, пол­ное напряжение — это то напряжение, которое в действительности имеется между некоторыми точками электрической цепи при пере­ходном процессе. Его также можно измерить и записать на осцилло­грамме.

1.2. Законы коммутации.

Первый закон коммутации. Ток через любую индуктивность непосредственно до коммутации — назовем его i_L (0_) - равен току через ту же индуктивность непосредственно после коммутации - назовем его i_L  (0₊)                                  i_L (0_) = i_L  (0₊)

 Второй закон коммутации. Обозначим напряжение на ем­кости непосредственно до коммутации через u_c (0_) и через и_c(0₊) - напряжение на ней непосредственно после коммутации.

u_c (0_) = и_c(0₊)

1.3. Ток через индуктивность и напряжение на емкости.

Ток через индуктивность не мо­жет изменяться скачком. Доказательство проведем на примере схемы рис.2. По второму закону Кирхгофа

Ток i и э.д.с. Е могут принимать только конечные (не бесконеч­но большие) значения.

Допустим, что ток i может измениться скачком. Скачок тока означает, что за бесконечно малый интервал времени  Dt стремящийся к нулю, ток изменится на конечную величину Di. При этом . Если вместо  в уравнение (1) подставить ¥, то левая часть уравнения не будет равна правой  части и не будет вы­полнен второй закон Кирхгофа.

Следовательно, допущение о возможности скачка тока через индуктивность противоречит второму закону Кирхгофа.

Ток через L не может измениться скачком, но напряжение на индуктивности, равное скачком измениться может. Это не противоречит второму закону Кирхгофа и энергетическим соотно­шениям.

Доказательство того положения, что напряжение на емкости не может изменяться скачком, проводится аналогично доказатель­ству первого положения.

Однако ток через емкость, равный может изменяться скачком; это не противоречит второму закону Кирхгофа и энерге­тическим соотношениям.

Из перечисленных выше двух основных положений следуют два закона коммутации.

1.4. Начальные значения величин.

Значения токов и напряжений в схеме при t = 0 понимают под начальными значениями (в литературе их называют еще начальны­ми условиями).

Токи через индуктивности и напряжения на емкостях непосредственно после коммутации всегда равны их значениям непосредственно до коммутации. Что касается осталь­ных величин: напряжений на индуктивностях, напряжений на активных сопротивлениях, токов через емкости, токов через актив­ные сопротивления, то все эти величины могут изменяться скач­ком, и потому их значения непосредственно после коммутации ча­ще всего оказываются не равными их значениям до коммутации.

Значения токов через индуктивности и напряжения на емкостях, известные из докоммутационного режима, условимся называть независимыми начальными значениями.

Значения остальных токов и напря­жений при  в послекоммутационной схеме, определяемые по независи­мым начальным значениям из законов Кирхгофа, будем называть зависимыми начальными значениями.

При нулевых начальных условиях токи в индуктивностях и на­пряжения на емкостях начнут изменяться с нулевых значений, при ненулевых условиях — с тех значений, которые они имели не­посредственно до коммутации.

1.5. Составление характеристического уравнения системы.

Составить характеристическое уравнение можно путем исполь­зования выражения для входного сопротивления цепи на перемен­ном токе. С этой целью составляют выраже­ние входного сопротивления для любой ветви цепи на переменном токе [обозначим его Z(jw)], заменяют в нем jw на p [получают Z(р)] и приравнивают Z(р) к нулю.

Число корней характеристического уравнения равно степени этого уравнения. Так, если характеристическое уравнение представляет собой урав­нение первой степени, то оно имеет один корень, если второй сте­пени — два корня, если третьей степени — три корня и т. д. Уравнение первой степени имеет всегда действительный (не мнимый и не комплексный)  корень.

Уравнение второй степени может иметь:

а) два действительных неравных отрицательных корня;

б) два действительных равных отрицательных корня;

в) два комплексно сопряженных корня с отрицательной дейст­вительной частью.

Все действительные корни характеристических уравнений всегда отрицательны, а комплексные корни всегда имеют отрицатель­ные действительные части. Если число корней характеристического уравнения будет боль­ше двух, то свободный процесс может быть представлен как про­цесс, составленный из нескольких простейших процессов.

Если характеристическое уравнение имеет один корень, то свободный ток выражается в следующем виде: i_св=(A₁+A₂p)e^pt

При двух действительных неравных корнях характеристического уравнения: i_св=A₁ e^p1t +A₂e^p2t

При двух комплексно сопряжённых корнях i_св должно быть взято в виде: i_св= e^αt(A₁сosbt+A₂sinbt)

Где d - коэффициент затухания.

Зависимость выражения тока от корней характеристического уравнения показана в таблице.

На этом закончим  рассмотрение общих свойств линейных цепей при переходных процессах, а также общих законов, которым подчиняются переходные процессы в линейных электрических цепях и перейдем к изучению методов анализа и расчета переходных процессов.

2. Методы анализа и расчета переходных процессов

2.1.Общая характеристика методов анализа переходных процессов в линейных электрических цепях.

Расчет переходных процес­сов в любой линейной электрической цепи состоит из следующих основных операций:

1. Выбор положительных, направлений токов в ветвях цепи.

2. Определение значений токов и напряжений непосредственно до коммутации

3.  Составление  характеристического  уравнения  и  определение его корней 

4. Получение выражений для искомых токов и напряжений как функции времени.

Широко распространенными методами расчета переходных про­цессов являются:

1) метод, получивший в литературе название  классического;

2) операторный метод;

3) метод расчета путем применения интеграла Дюамеля.

Для всех этих методов перечисленные выше четыре операции или этапа расчета являются обязательными.

Для всех методов первые три операции совершаются одинаково, и их нужно рассматри­вать как общую для всех методов часть расчета. Различие между методами имеет место на четвертом, наиболее трудоемком, этапе расчета.

Из перечисленных выше трех методов наиболее широко при­меняются классический и операторный, менее широко использует­ся метод расчета путем применения интеграла Дюамеля. В даль­нейшем, после того как мы достаточно ознакомимся с этими метода­ми, будут даны сравнительная оценка и рекомендуемая область применения каждого из них.

В радиотехнике, кроме трех перечисленных выше методов, применяют еще метод анализа переходных процессов, основывающийся на интеграле Фурье.

2.2. Классический метод расчета переходных про­цессов. 

Название метода "классический" отражает использование в нем ре­шений дифференциальных уравнений с постоянными параметрами ме­тодами классической математики.

Расчет переходного процесса в цепи классическим методом содержит следующие этапы.

1. Прежде всего, необходимо составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа, Ома, электромагнитной индукции и т. д., описываю­щих состояние цепи после коммутации, и исключением переменных получить одно дифференциальное уравнение, в общем случае неоднород­ное относительно искомого тока i или напряжения и. Для простых цепей получается дифференциальное уравнение первого или второго порядка, в котором в качестве искомой величины выбирают либо ток в индуктивном элементе, либо напряжение на емкостном элементе.

2. Далее следует составить общее решение полученного неоднород­ного дифференциального уравнения цепи в виде суммы частного ре­шения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения.

Применительно к электрическим цепям в качестве частного решения неоднородного дифференциального уравнения выбирают установив­шийся режим в рассматриваемой цепи (если он существует), т. е. по­стоянные токи и напряжения, если в цепи действуют источники посто­янных ЭДС и токов, или синусоидальные напряжения и токи при дей­ствии источников синусоидальных ЭДС и токов. Токи и напряжения установившегося режима обозначают i_пр и называют принужденными или установив­шимися.

Общее решение однородного дифференциального уравнения описывает процесс в цепи без источников ЭДС   и тока, который поэтому называют   свободным   процессом.   Токи   и   напряжения   свободного процесса обозначают i _св и и_св    и называют свободными, а их выражения должны содержать постоянные интегрирования, число которых равно порядку однородного уравнения.

Свободный процесс вызывается несоответствием между энергией, сосредоточенной в электрическом и магнитном полях емкостных и индуктивных элементов в момент времени, непосредственно пред­шествовавший коммутации, и энергией этих элементов при новом установившемся режиме в момент времени, непосредственно следую­щий за коммутацией. Энергия элементов не может измениться скач­ком, и ее постепенное изменение обусловливает переходный процесс.

3. Наконец, в общем решении i =i_пр + i_св, u = u_пр + u_св следует найти постоянные интегрирования.

Постоянные интегрирования определяют из начальных условий, т. е. условий в цепи в начальный момент времени после коммутации. Будем считать коммутационные ключи идеальными, т. е. что коммутация в заданный момент времени t происходит мгновенно. При таких комму­тациях ток в индуктивном элементе и напряжение на емкостном эле­менте в начальный момент времени после коммутации t₊ такие же, как в момент времени, непосредственно предшествовавший коммута­ции t_ . Эти условия получаются из законов коммутации.

2.3. Операторный метод расчета пе­реходных процессов в линейных электрических цепях.

Перейдем теперь к изучению основ второго метода расчета пе­реходных процессов в линейных электрических цепях — оператор­ного метода. Сущность операторного метода заключается в том, что некоторой заданной однозначной заданной функции f(t) действительной переменной (например, времени t), называемой оригиналом, удовлетворяющей условиям Дирихле на любом конечном промежутке времени и равной нулю при t<0, сопоставляется другая функция F(p) комплексного переменного p=a+jb называемая изображе­нием.

Предварительно вспомним некоторые уже известные положения.

2.3.1. Изображение числа и функций.

Еще из средней школы известно, что для выполнения умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня из многозначных чисел целесообразно пользоваться логарифмами.

Действительно, операция умножения, сводится к сложению логарифмов, операция деления — к вычитанию логарифмов и т. д.

Таким образом, облегчение в расчете получается в силу того, что сравнительно сложная операция сводится к более простой.  Каждому числу соответствует свой логарифм, поэтому логарифм можно рассматривать как изображение числа.

Так, 0,30103 есть изображение (логарифм) числа 2 при основа­нии 10.

 Комплексы тока и напряжения есть изображения синусо­идальных функций. Между изобра­жением числа в виде логарифма и изображением - синусоидальной функции времени в виде комплексного числа есть существенная разница.

В первом случае речь идет об изображении числа (не функции), во втором — об изображении функции времени.

Подобно тому, как введение логарифмов упростило проведение операций над числами, введение комплексных изображений синусоидальных функций времени позволило упростить операций над функциями времени.

 Операторный метод, к изучению, которого мы приступаем,  основан на использовании понятия об изображении функций времени. В операторном методе каждой функции времени соответствует функция новой переменной, обозначаемой буквой р, и, обратно, функции переменной р отве­чает определенная функция времени.

Переход от функции времени к функции р совершается при помощи преобразования Карсона — Хевисайда.

Таким образом, операторный метод расчета переходных процес­сов представляет собой метод расчета, основанный на преобразо­вании Карсона - Хевисайда.

Забегая вперед, отметим, что операторный метод позволяет свести операцию дифференцирования к операции умножения, а операцию интегрирования – к делению. Это облегчает интегри­рование дифференциальных уравнений.

2.3.2. Преобразование Карсона — Хевисайда.

Условимся под р понимать комплексное число:               р = а + jb

где а - действительная часть, b - мнимая часть этого комплекс­ного числа.

В дальнейшем в соответствии с установившейся практикой ко­эффициент b с учетом знака условимся называть «мнимой частью». Функцию времени (ток, напряжение, э.д.с., заряд) будем обозначать f(t) и называть оригиналом. Ей соответствует функция F(р), называемая изображением, опреде­ляемая следующим образом:

                                    (5)

Соответствие между функцией F(р) и функцией f(t) записывают так:

F(p) = f(t)

Знак = называют знаком соответствия.

Верхний предел интеграла (5) равен бесконечности. Интег­ралы с бесконечным верхним пределом называют несобственными. Если в результате интегрирования и подстановки пределов будет получено конечное число (не бесконечность), то говорят, что интег­рал сходится.

В курсе математики доказывается, что интеграл (5), в сос­тав которого входит функция e^pt =e^{at .} e^-jbt сходится только в том случае, когда модуль функции f(t) если и увеличивается с ростом t, то все же медленнее, чем модуль функции e^pt.  Практически все функции f(t), с которыми имеют дело электри­ки, этому условию удовлетворяют.

2.3.3. Закон Ома в операторной форме.

На рис. 3 изображена часть сложной разветвленной электрической цепи.

Z(p) представляет собой операторное сопротивление. Структура его аналогична структуре комплекса сопротивления того же участка цепи переменному току, если jw заменить на р.

Слагаемое L_i(0) представляет собой внутреннюю э.д.с., обу­словленную запасом энергии в магнитном поле индуктивности L вследствие протекания через нее тока i(0) непосредственно до ком­мутации.

Слагаемое и_с(0) представляет собой внутреннюю э.д.с., обу­словленную запасом энергии в электрическом поле конденсатора вследствие наличия напряжения на нем и_с(0) непосредственно до коммутации.

Математическая запись закона Ома в операторной форме для участка цепи в общем, виде примет вид

2.3.4. Законы Кирхгофа в операторной форме.

По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма мгновенных зна­чений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю. В общем случае

Для любого замкнутого контура любой электрической цепи можно составить уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений величин. Как известно, с этой целью предварительно необходимо вы­брать положительные направления для токов в ветвях и положи­тельное направление обхода контура.

В  общем виде второй закон Кирхгофа  можно записать так:

В состав Е_к (р) в общем случае входят и внутренние э.д.с.

2.3.5. Последовательность расчета в операторном методе.

Расчет состоит из следующих основных этапов:

1) Из расчета цепи до коммутации найти токи в индуктивностях i_l(o_) и напряжения на емкостях U_с(0 _).

2) По виду исследуемой электрической цепи после комму­тации составить эквивалентную операторную схему (если целе­сообразно, то для свободных составляющих). По эквивалент­ной операторной схеме известными методами расчета цепей найти изображение искомой величины.

Изображение искомой величины можно получить и другим способом. Для цепи после коммутации записать систему уравнений Кирхгофа для мгновенных значений, затем все величины представить их изображениями и полученную сис­тему уравнений разрешить относительно изображения искомой величины.

3) По изображению искомой величины найти оригинал, т. е. искомую функцию времени.

Если задана функция действительного переменного f(t) (оригинал), то соответствующая функция комплексного пере­менного F(p) (изображение) - прямое преобразование Лапласа:

Эквивалентные операторные схемы элементов цепи пред­ставлены ниже. Операторная схема для индуктивности L содержит операторное сопротивление pL и источник с ЭДС Li(0), направленной по току I, а операторная схема для емкости С содержит операторное сопротивление 1/рС и источ­ник с ЭДС U_с(0)/р, направленной против напряжения на емкости U_с.

Переход от изображения к функции времени может осуществляться различны­ми путями. Первый путь состоит в применении формул соответствия между функциями оператора р и функциями времени.

В научной литературе есть специальные исследования, содержащие обширные таблицы формул соответствия (1518 формул), охватывающих все возможные практические задачи. Формулами соответствия рекомендуется пользоваться в том случае, если среди корней уравнения есть несколько одинако­вых корней (кратные корни) или (и) корень, равный нулю (р = 0).

Второй путь состоит в применении так называемой формулы разложения. Формула разложения  выведена, исходя из предположения, что уравнение  не имеет кратных корней и корня р = 0.

Формулой разложения широко пользуются на практике, и ее принято рассматривать как основную формулу для перехода от изображения к функции времени.

Часто изображение имеет вид рациональной дроби

F1(p)= b_mp^m+b_m-1p^m-1+…+b₀

F2(p)     a_npⁿ+a_n-1p^n-1+…+a₀

При m < n, при чем дробь  несократима, т.е. многочлен F₁(p) и F₂(p) не имеют общих корней и а_k и b_k — действительные числа.

Оригинал f(t) изображения можно найти по формуле

Здесь р_к – простые корни характеристического уравнения F₂(p) =0, причем один из них может равняться нулю.

Часто встречается другая форма записи разложения, применяющаяся в том случае, когда в составе знаменателя есть множитель р, т.е. знаменатель имеет один нулевой корень. Необходимо найти оригинал для изображения F₁(p)/ pF₂(p), где в составе F₂(p) уже нет множителя р. Предполагая, что уравне­ние F₂(p)=0 имеет n различных и не равных нулю корней р_k (k=l,2,...n) полу­чаем другую форму теоремы разложения:

Если F₂(p)=0 уравнение имеет комплексно сопряженные корни, то нет необходимости вычислять слагаемые суммы, стоящей в правых частях равенств (13) или (14) для каждого из комплексно сопряженных корней в отдельности. Известно, что функции с действительными коэффициентами от комплексно сопряженных значений независимого переменного - сами комплексно сопряжен­ные. Поэтому если корни р_i и р_i^* комплексные и сопряженные, то достаточно вычислить слагаемое сумм (13) или (14) только для корня p_i а для корня p_i^* взять значение, сопряженное этому слагаемому, т.е.

 Формула разложения применима при любых начальных ус­ловиях и при любых практически встречающихся формах напряже­ния, воздействующего на схему.

Эквивалентные операторные схемы элементов цепи

2.4. Сравнение различных методов расчета переходных процес­сов. 

И классический и операторный методы расчета могут приме­няться для решения задач практически любой сложности. Каким из них пользоваться, зависит от навыка и привычки.

Однако бесспорно, что классический метод более физически прозрачен, чем операторный, в котором решение дифференциаль­ных уравнений весьма сильно «механизировано». Интеграл Дюаме­ля рекомендуется применять в тех случаях, когда напряжение изменяется по сложному закону во времени, например при нали­чии скачков напряжения, или когда переходная прово­димость g(t) и (или) воздействующее на схему напряжение заданы графически (в последнем случае интеграл Дюамеля берется путем численного интегрирования).

Расчетная часть

                                                                                Дано:

                                                                               Е=120В

                                                                                               L=10мГн=10^-2Гн

                                                                                              С=10мкФ=10^-5Ф

                                                                                 R₁=30Ом

                                                                                 R₂=70Ом

                                                                                     R₃=1000Ом

                                                                                     R₄=1000Ом

                                                                                                Найти: i₃-?

I. Классический метод

1. Рассмотрим установившийся режим цепи до коммутации.

Так как конденсатор при постоянном токе служит разрывом цепи (представляет собой бесконечное сопротивление), в ветви с конденсатором ток отсутствует.

Ток  - это ток на катушке, а значит является независимым начальным условием (по первому закону коммутации)

- напряжение на конденсаторе, которое является независимым условием.

2. Рассмотрим переходный процесс.

Преобразуем схему полученную после коммутации (контур охваченный штриховой линией).

- Эквивалентное сопротивление.

 - Эквивалентный источник.

Составим уравнения по законам Кирхгофа.

                (1)

Искомую величину  запишем в виде:

 .      

Так как в ветви с конденсатором установившееся (принужденное) значение тока равно 0, то есть  ), то

.

- это свободная составляющая тока  (общее решение однородного дифференциального характеристического уравнения). Для нахождения  составим уравнение, обозначаемое как входное сопротивление цепи, и приравняем его к нулю (). Сопротивление конденсатора обозначим , сопротивлением катушки .

Корнями характеристического уравнения являются два действительных; отрицательных корня.

 Поэтому:

.

    (*)

 и - постоянные интегрирования. Так как их количество равно двум, то необходимо два уравнения для их нахождения. Первое , вторым будет уравнение . Продифференцируем уравнение .

    (**)

Постоянные интегрирования определяются из начальных условий (при t=0). Запишем систему (1) для момента времени t=0.

         (2), (3), (4)

 и  - являются независимыми начальными условиями, поэтому:

Из уравнения (4) следует:

;       

Так как , то

 перепишем

 продифференцируем последнее уравнение

.

Из уравнения (1) .

Тогда       

Запишем уравнения (*) и (**) для t=0

.

Искомая величина запишется в виде:

II. Операторный метод

Произведем замену элементов цепи на их операторные эквиваленты.

Запишем систему уравнений по законам Кирхгофа:

Ток  определим методом Крамера

, где

- главный определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных ().

- определитель, где вместо коэффициентов при неизвестной  записываются свободные коэффициенты, что стоят в правых частях уравнений.

Выражение  называют изображением. Для того, чтобы перейти к оригиналу () воспользуемся формулой:

    , где      - знак соответствия изображения () оригиналу ().

     .

Если       , то

График

Построим график изменения искомой величины функции времени на интервале от t=0 до t=.

.

 Список литературы

1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники.- М.: Высшая       школа, 1964. – 750с.
2. Блажкина  А.Т. Общая электротехника. – Л.: Энергия, 1971 – 544 с.
3. Данилов И.А., Иванов П.М.  Общая электротехника с основами электроники: Учебное пособие – 4-е изд., - М.: Высшая школа, 2000. - 752 с.: ил.
4. Каплянский А.Е., Лысенко А.П., Похотовский Л.С. Теоретические основы электротехники.- М.: Высшая школа, 1972 – 357с.
5. Пантюшина В.С. Общая электротехника. – М.: Высшая школа, 1970 – 548с.
6. Ярыш Р.Ф., Шакирьянова Э.М. Переходные процессы в линейных электрических цепях: Методические указания. – Альметьевск: Альметьевский государственный нефтяной институт, 2003. – 12с.